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Portada Cubicas

LAS CÚBICAS PLANAS

http://www.bubok.es/libros/225410/LAS-CUBICAS-PLANAS

Sinopsis

El objeto del texto es el estudio generalizado, a través de un análisis sistematizado, de las cúbicas planas reales, esto es, de las curvas algébricas con tres puntos de intersección con una recta del plano, definidas por la anulación de polinomios enteros de tercer grado en el sistema coordenado lineal empleado, con todos los coeficientes reales, que son representativas de cúbicas asimismo reales. Las publicaciones [5] y [6] del autor, incluídas en las Referencias, son un antecedente significativo.
El Capítulo I es una revisión de la propia definición y de las propiedades fundamentales de las cúbicas planas, justificativa de la distinción entre las tres clases de cúbicas C6, C4 y C3.
Los Capítulos II y III, que son conjuntamente trasunto muy ampliado de [6], están dedicados a la construcción de la familia de C6-cúbicas K(F,D), que generaliza dos cúbicas triangulares particulares K y K’ estudiadas en [5], utilizando una transformación cuadrática involutiva cualquiera relativa al triángulo de referencia, sustitutiva de la inversión triangular aplicada en la anterior generación unificada de K y K’ en [5].
El Capítulo IV es una explotación de propiedades demostradas en los dos anteriores, de las que se derivan invarianzas generalizadas con relación a infinitas transformaciones cuadráticas involutivas, cada una de ellas relativa a un punto cualquiera de la cúbica. Se apuntan asimismo extensiones de estas propiedades a las cúbicas de tipos C3 y C4.
El objeto del Capítulo V es la definición de pares de cúbicas K(F,D) y K(f,D) que generalizan una relación paralela análoga a la existente entre las cúbicas K y K’ en el contexto global de las C6-cúbicas, mientras el Capítulo VI es la aplicación de las propiedades de la familia general de cúbicas K(F,D) a la definición particular de las cúbicas K y K’ específicas. Se prueba la incidencia de cada una de ellas con sendos conjuntos de 46 y 44 puntos significativos, relativos al triángulo base, obtenidos mediante construcciones geométricas elementales.
Los Capítulos VII, VIII y IX se dedican, de nuevo, al estudio de propiedades generales de los tres tipos distintos de cúbicas.
En primer lugar, en el Capítulo VII se establece una nueva caracterización involutiva de las cúbicas, si bien, más restringida, por ser sólo aplicable, en común, a las cúbicas C6 y C4.
En el Capítulo VIII se formaliza, por el contrario, una generación integral común de las cúbicas C6, C4 y C3, mediante aplicación de una transformación cuadrática involutiva general, referida a un haz de cónicas, y su adaptación a la generación de cada uno de los tipos mediante selecciones convenientes del haz. Los resultados obtenidos representan una extensión del planteamiento referido básicamente a las C6-cúbicas en los Capítulos II a VI anteriores.
El Capítulo IX está dedicado, igualmente, a una generación alternativa general, extendida, de nuevo, a los tres tipos de cúbicas, mediante intersecciones de pares de elementos, respectivamente correspondientes a sendos haces, lineal y cuadrático, entre los que se establece una relación homográfica. Esta segunda  generación completa es, así, paralela, a la generación clásica de las cónicas, mediante intersección de elementos homólogos en una homografía entre dos haces lineales.
Finalmente, el Capítulo X se dedica, en exclusiva, a las cúbicas unicursales, es decir, a los dos tipos de cúbicas C4 y C3, con especial incidencia en la consideración de la propiedad analagmática y sus derivaciones secuenciales.

Palabras clave: Cúbicas 2D, transformación cuadrática involutiva, punto básico, propiedad analagmática, cúbica elíptica, cúbica unicursal, transformación homográfica, configuración.

Key words: Cubics 2D, quadratic involutive transformation, pivot, anallagmatic property, elliptic cubic, unicursal cubic, homography, configuration.

Notas:

- 1ª publicación en Bubok, 07/06/2013
- Blog: comentario sobre elaboración y antecedentes del texto, 10/06/2013

 

Portada Geom

GEOMETRÍA DUAL INVOLUTIVA EN ESPACIOS MULTIDIMENSIONALES

http://www.bubok.es/libros/211306/GEOMETRIA-DUAL-INVOLUTIVA-EN-ESPACIOS-MULTIDIMENSIONALES

Sinopsis

El concepto de la geometría dual involutiva, que se desarrolla en el texto, está basado en la idea de hacer que dos puntos, P y P´, situados en un espacio N-dimensional, definido por un N-simplex, representen un papel similar al del centroide y el ortocentro en relación con propiedades clásicas del triángulo, como son la recta de Euler y el círculo de los nueve puntos. El comportamiento proyectivo simétrico de uno y otro punto se pone de manifiesto a partir de la denominada operación de duplicación, esto es, la consideración simultánea de dos construcciones paralelas basadas en la sustitución mutua recíproca de los puntos P y P´, y, en particular, en su caso, en la identificación de ambas construcciones resultantes finales, que llamamos autoduplicadas.
La contribución principal obtenida es la definición de un haz de hipersuperficies de segundo grado asociadas con el N-simplex de referencia y el par (P,P´). Mediante el análisis del haz, se generalizan algunas construcciones usuales de la geometría métrica ordinaria tradicional en el plano y se obtienen numerosos resultados adicionales.

A partir de esta idea básica, el libro se estructura en cinco Capítulos y un Apéndice. En el Capítulo I se lleva a cabo directamente el estudio multidimensional, reservando el tratamiento bidimensional para el Capítulo II, como aplicación particularizada del estudio general en el Capítulo I. Se hace aquí, también, referencia a una publicación anterior del autor, limitada al espacio bidimensional, en artículo en colaboración, en una revista especializada.

El Capítulo III es una extensión novedosa del Capítulo II que supone la noción y el desarrollo de una triple simetría específica de la geometría dual anterior en el plano, que no es ya transferible a espacios de dimensiones distintas de dos.

El Capítulo IV retoma el planteamiento generalizado del Capítulo I, con su desarrollo, en especial, en espacios cartesianos ortonormales multidimensionales, y partiendo de una elección determinada de los dos puntos básicos, con una condición adicional impuesta al N-simplex, que es su propiedad ortocéntrica.

El Capítulo V se refiere a la geometría correlativa paralela, basada en la sustitución mutatis mutandis de los términos punto/(N-1)-hiperplano en el espacio N-dimensional. Fuera ya del campo dual, se añade un Apéndice relativo a propiedades de un tetraedro cualquiera en el espacio tridimensional, incluída la generación de cinco cuádricas asociadas, que complementan el análisis restringido a la clase especial de un politopo ortocéntrico, y, en particular, de un tetraedro ortocéntrico, efectuado en el Capítulo IV.

Palabras clave: Geometría dual involutiva, espacio N-dimensional, N-politopo, geometría correlativa, elementos armónicos asociados, recta de Euler, círculo de los nueve puntos

Keywords: Dual involutive geometry, N-dimensional space, N-simplex, correlative geometry, harmonic associate elements, Euler line, nine points circle

Notas:
- 1ª publicación en Bubok, 24/02/2012
- Blog: comentario sobre elaboración y antecedentes del texto, 29/02/2012

 

Portada Matrices Hermiticas

TRANSFORMACIONES Y FUNCIONES CON MATRICES HERMÍTICAS

http://www.bubok.es/libro/detalles/198093/TRANSFORMACIONES-Y-FUNCIONES-CON-MATRICES-HERMITICAS

Sinopsis

Este nuevo texto es la continuación y complemento de nuestra publicación anterior en bubok “Transformaciones elementales y compuestas con matrices y determinantes”, referido aquí a transformaciones y aplicaciones con utilización de la clase especial de las matrices hermíticas, que desempeñan un papel primordial en el tratamiento y solución de numerosos problemas físicos relacionados con métodos variacionales.

Su contenido se estructura en dos partes diferenciadas. Los Capítulos I a VI siguen la línea del análisis estrictamente matricial del texto anterior. En el Capítulo I se formula una descomposición sumatoria de cualquier matriz y también la relativa a sus transformadas compuestas. En el mismo Capítulo se extiende el concepto de función vectorial a dos funciones matriciales de naturaleza respectiva matricial y escalar, para las cuales se aplica la anterior descomposición sumatoria. En los Capítulos II a VI se refieren las definiciones anteriores concretamente a las matrices hermíticas y se deducen generalizaciones de algunas expresiones y teoremas clásicos.

Los Capítulos VII a X, aunque se mantienen igualmente en el terreno de los desarrollos matemáticos matriciales, se aplican ya a la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarios con inclusión de restricciones lineales, directamente relacionados con las aplicaciones de tipo variacional apuntadas, de las que se incluyen referencias concretas de otras publicaciones anteriores en el área de la ingeniería. En los Capítulos VII y VIII, la consideración de un método penalti particular, alternativo al método directo de reducción, usual en la solución de estos sistemas, permite la deducción adicional de diversos desarrollos asintóticos en el Capítulo IX. Finalmente, en el Capítulo X se analizan en detalle algunos casos con matrices de formas especiales, que han sido también objeto de las referencias citadas.

Palabras clave: Matrices hermíticas, Transformaciones ortogonales, Autovalores, Ecuación característica, Principio variacional, Sistemas diferenciales lineales, Método penalti, Desarrollos asintóticos matriciales.

Key Words: Hermitian matrices, Orthogonal transformations, Eigenvalues, Characteristic equation, Variational principle, Diferential linear systems, Penalty method, Matrix asymptotic developments.

Notas:
- 1ª publicación en Bubok, 22/01/2011
- Blog: comentario sobre elaboración y antecedentes del texto, 29/01/2011


Portada Matrices Determinantes

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Y COMPUESTAS CON MATRICES Y DETERMINANTES

http://www.bubok.com/libros/173592/TRANSFORMACIONES-ELEMENTALES-Y-COMPUESTAS-CON-MATRICES-Y-DETERMINANTES

Sinopsis

En los Capítulos I y II se hace una revisión de las propiedades y teoremas fundamentales de matrices y determinantes, con énfasis en el análisis de transformaciones con utilización de matrices elementales y matrices compuestas. Su aplicación permite obtener expresiones formales sintetizadas de los principales teoremas clásicos, que se definen de forma descriptiva en la literatura matemática tradicional. Se consideran, en profundidad, algunas propiedades singulares de la transformación compuesta. Se deduce, también, un sistema combinatorio de representación numérica en la aritmética modular, con base en el estudio del proceso de formación de las matrices compuestas.

En el Capítulo III se aplican transformaciones elementales a la definición de una forma determinante alternativa ampliada, aplicable a funciones matriciales, que incluyan operaciones mixtas de sumas y productos de matrices, y, en particular, al desarrollo del determinante asociado a la ecuación característica de una matriz . En el Capítulo IV se formulan métodos de reducción de determinantes y de reducción de la matriz inversa de una matriz regular, y se obtienen otras expresiones formales relativas a determinantes compuestos.

Palabras clave: Determinantes y matrices, matrices elementales, operaciones elementales, matriz compuesta, rango, función multilineal, forma determinante alternativa, determinante compuesto, identidad extensional, ecuación característica.

Key Words: Determinants and matrices, elementary matrices, elementary operations, compound matrix, rank, multilineal function, alternative determinant form, compound determinant, extensional identity, characteristic equation.

Notas:
- 1ª publicación en Bubok, 05/05/2010
- Blog: comentario sobre elaboración y antecedentes del texto, 12/05/2010


portada Pitagoras

UNA EXTENSIÓN DEL TEOREMA GENERALIZADO DE PITÁGORAS EN ESPACIOS n-DIMENSIONALES

http://www.bubok.com/libros/22404/UNA-EXTENSION-DEL-TEOREMA-GENERALIZADO-DE-PITAGORAS-EN-ESPACIOS-nDIMENSIONALES

Sinopsis

El texto se refiere a generalizaciones del Teorema de Pitágoras en espacios n-dimensionales. Se hace una revisión de referencias publicadas sobre esta cuestión, y se señalan las limitaciones de algunos planteamientos particulares. La revisión, a continuación, de otros planteamientos más generales, se resume en una fórmula pitagórica universal, relativa a cualquier m-politopo convexo, de dimensión m en En (m<n), y a sus proyecciones sobre subespacios de su misma dimensión m.

El análisis se complementa con una extensión de la fórmula generalizada indicada, referida al mismo m-politopo convexo en En, y a sus proyecciones sobre subespacios de cualquier dimensión h (h<n), igual o superior a m, y la deducción de una fórmula cuasi pitagórica más general. Se apuntan otras consideraciones en el plano teórico, que justifican la aplicación del Teorema a cualquier politopo y/o figura genérica en el espacio n-dimensional.

Se incluye, también, un Apéndice relativo a propiedades del politopo base considerado en las referencias primeras, con planteamientos particulares, que implican una condición específica de ortonormalidad del politopo, en el espacio En.

Palabras clave: Teorema de Pitágoras Generalizado Multidimensional; k-Politopo/k-Volumen; k-Simplex/Convexidad; Ortocentro en el espacio n-dimensional; Politopo Ortocéntrico; Matrices Compuestas.

Key Words: Generalized Multidimensional Pythagoras Theorem; k-Polytope/k-Volume; k-Simplex/Convexity; Orthocenter in n-Dimensional Spaces; Orthocentric Polytope; Compound Matrices.

Notas:
- 1ª publicación en Bubok, 10/01/2010
- Blog: comentario sobre elaboración y antecedentes del texto, 17/02/2010
- Retirada transitoria del libro para modificación de portada y adiciones, 21/01/2010
- 2ª publicación en Bubok, 03/02/2010

 
   
 

 

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